Problema 6. Si a ∈ G y $a^m$ = e, pruébese que $\circ$(a) | m

Como a $\subseteq$ G por ser un grupo cíclico se cumple que $a^m$=e por ser cíclico.

$\Rightarrow$ $\circ$(a) $\in$ $\mathbb{N}$ tal que n=$\circ$(a) donde n es el mínimo entero positivo tal que $a^m$=e.

Como m no es el mínimo entero positivo,

entonces $\exists$ q,r $\in$ $\mathbb{Z}$ tal que m=nq+r, donde 0 $\leq$r$\leq$n

$\Rightarrow$                         $a^n$ = $a^{nq+r}$                          Por ley de los exponentes
                                   = $a^{nq}$ $\cdot$ $a^r$                       Por ley de los exponentes
                                   = $(a^n)^q$ $\cdot$ $a^r$                   Sustituyendo
Por hipótesis           e=$a^{m}$ = e $\cdot$ $a^r$                  ya que e $\cdot$ e $\cdot$ e $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$  e = e (q veces)


$\Rightarrow$ e = e $\cdot$ $a^r$     
$\Rightarrow$ e $\cdot$ $a^r$ = $a^r$
$\Rightarrow$ e = $a^r$        es una contradicción ya que es el mínimo entero positivo tal que $a^n$=e

 $\Rightarrow$   m= nq ,  r =0

$\Rightarrow$ n$\mid$m , como n = 0(a)

$\therefore$    $\circ$(a) | m