Problema. Sean a, b, c, d, n ∈ $\mathbb{Z}$ tales que a ≡ b $mod$ n y c ≡ d $mod$ n entonces ac ≡ bd $mod$ n

Demostración:

Dado que a ≡ b $mod$ n y c ≡ d $mod$ n, entonces n $\mid$ a-b y n$\mid$c-d

$\Rightarrow$ n$\mid$(a-b) + (b+d)
$\Rightarrow$ a+c ≡ b+d $mod$ n

Como n$\mid$a-b y n$\mid$c-d
$\Rightarrow$ $\exists$ $k_1$,$k_2$ $\in$ $\mathbb{Z}$ $\ni$  a-b = $k_1$n   y   c-d = $k_2$n
$\Rightarrow$ (a-b)c = ($k_1$n)c , bc - bd = b$k_2$n
$\Rightarrow$ ac-bc = $k_1$nc
$\Rightarrow$ ac-bc +bc - bd = $k_1$nc + b$k_2$n
$\Rightarrow$ ac - bd = $k_2$
$\Rightarrow$ n$\mid$ac - bd
$\Rightarrow$ ac ≡ bd $mod$ n        

Q.E.D