Problema. Sean a, b, c, d, n ∈ $\mathbb{Z}$ tales que a ≡ b $mod$ n y c ≡ d $mod$ n entonces ac ≡ bd $mod$ n

Demostración:

Dado que a ≡ b $mod$ n y c ≡ d $mod$ n, entonces n $\mid$ a-b y n$\mid$c-d

$\Rightarrow$ n$\mid$(a-b) + (b+d)
$\Rightarrow$ a+c ≡ b+d $mod$ n

Como n$\mid$a-b y n$\mid$c-d
$\Rightarrow$ $\exists$ $k_1$,$k_2$ $\in$ $\mathbb{Z}$ $\ni$  a-b = $k_1$n   y   c-d = $k_2$n
$\Rightarrow$ (a-b)c = ($k_1$n)c , bc - bd = b$k_2$n
$\Rightarrow$ ac-bc = $k_1$nc
$\Rightarrow$ ac-bc +bc - bd = $k_1$nc + b$k_2$n
$\Rightarrow$ ac - bd = $k_2$
$\Rightarrow$ n$\mid$ac - bd
$\Rightarrow$ ac ≡ bd $mod$ n        

Q.E.D

Demostración "Relación congruencia mod n"

Lema: La relación "congruencia módulo n" define una relación de equivalencia en el conjunto de los enteros.

Demostración:

1. PD que la relación es reflexiva, es decir,  $\forall$ a ∈ $\mathbb{Z}$, a ≡ a $mod$ n.
Sea a ∈ $\mathbb{Z}$, a-a=0 , $\Rightarrow$ n $\mid$ a-a         (n$\mid$0)
$\Rightarrow$ a ≡ a $mod$ n
Ya que a es un número entero arbitrario,  $\Rightarrow$  $\forall$ a ∈ $\mathbb{Z}$, a ≡ a $mod$ n
$\Rightarrow$ La relación es reflexiva.

2. PD que la relación es simétrica, es decir,  si  a ≡ b $mod$ n $\Rightarrow$ b ≡ a $mod$ n.
Sea a,b ∈ $\mathbb{Z}$ tal que a ≡ b $mod$ n $\Rightarrow$ n$\mid$ a-b
$\Rightarrow$ n$\mid$(-1)(a-b) , $\Rightarrow$ b ≡ a $mod$ n.
$\Rightarrow$ La relación es simétrica.

3. PD que la relación es transitiva, es decir, si a ≡ b $mod$ n y b ≡ c$mod$ n, $\Rightarrow$ a ≡ c$mod$ n.
Sean a,b,c  ∈ $\mathbb{Z}$ tal que a ≡ b $mod$ n y b ≡ c$mod$ n,
$\Rightarrow$ n$\mid$a-b y n$\mid$b-c  (por def. de la relación)
$\Rightarrow$ n$\mid$(a-b) + (b+c) $\Rightarrow$ n$\mid$a-c

Por definición de la relación,  $\Rightarrow$ a ≡ c$mod$ n.
$\Rightarrow$ La relación es transitiva.

$\therefore$ La relación de congruencia mód n es relación de equivalencia.