Problema 6. Expresar como el producto de ciclos ajenos: (1,2,3)(4,5),(1,6,7,8,9)(1,5)

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1,2,3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4,5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1,6,7,8,9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1,5 \end{pmatrix} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8&9 \\ 2&3&1&5&4&6&7&8&9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&6&7&8&9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&5 \end{pmatrix} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8&9 \\ 2&3&6&5&4&7&8&9&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&5 \end{pmatrix} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8&9 \\ 2&3&6&1&4&7&8&9&5 \end{pmatrix} \end{equation*}

Problema 6. Si a ∈ G y $a^m$ = e, pruébese que $\circ$(a) | m

Como a $\subseteq$ G por ser un grupo cíclico se cumple que $a^m$=e por ser cíclico.

$\Rightarrow$ $\circ$(a) $\in$ $\mathbb{N}$ tal que n=$\circ$(a) donde n es el mínimo entero positivo tal que $a^m$=e.

Como m no es el mínimo entero positivo,

entonces $\exists$ q,r $\in$ $\mathbb{Z}$ tal que m=nq+r, donde 0 $\leq$r$\leq$n

$\Rightarrow$                         $a^n$ = $a^{nq+r}$                          Por ley de los exponentes
                                   = $a^{nq}$ $\cdot$ $a^r$                       Por ley de los exponentes
                                   = $(a^n)^q$ $\cdot$ $a^r$                   Sustituyendo
Por hipótesis           e=$a^{m}$ = e $\cdot$ $a^r$                  ya que e $\cdot$ e $\cdot$ e $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$  e = e (q veces)


$\Rightarrow$ e = e $\cdot$ $a^r$     
$\Rightarrow$ e $\cdot$ $a^r$ = $a^r$
$\Rightarrow$ e = $a^r$        es una contradicción ya que es el mínimo entero positivo tal que $a^n$=e

 $\Rightarrow$   m= nq ,  r =0

$\Rightarrow$ n$\mid$m , como n = 0(a)

$\therefore$    $\circ$(a) | m

Problema. Sean a, b, c, d, n ∈ $\mathbb{Z}$ tales que a ≡ b $mod$ n y c ≡ d $mod$ n entonces ac ≡ bd $mod$ n

Demostración:

Dado que a ≡ b $mod$ n y c ≡ d $mod$ n, entonces n $\mid$ a-b y n$\mid$c-d

$\Rightarrow$ n$\mid$(a-b) + (b+d)
$\Rightarrow$ a+c ≡ b+d $mod$ n

Como n$\mid$a-b y n$\mid$c-d
$\Rightarrow$ $\exists$ $k_1$,$k_2$ $\in$ $\mathbb{Z}$ $\ni$  a-b = $k_1$n   y   c-d = $k_2$n
$\Rightarrow$ (a-b)c = ($k_1$n)c , bc - bd = b$k_2$n
$\Rightarrow$ ac-bc = $k_1$nc
$\Rightarrow$ ac-bc +bc - bd = $k_1$nc + b$k_2$n
$\Rightarrow$ ac - bd = $k_2$
$\Rightarrow$ n$\mid$ac - bd
$\Rightarrow$ ac ≡ bd $mod$ n        

Q.E.D

Demostración "Relación congruencia mod n"

Lema: La relación "congruencia módulo n" define una relación de equivalencia en el conjunto de los enteros.

Demostración:

1. PD que la relación es reflexiva, es decir,  $\forall$ a ∈ $\mathbb{Z}$, a ≡ a $mod$ n.
Sea a ∈ $\mathbb{Z}$, a-a=0 , $\Rightarrow$ n $\mid$ a-a         (n$\mid$0)
$\Rightarrow$ a ≡ a $mod$ n
Ya que a es un número entero arbitrario,  $\Rightarrow$  $\forall$ a ∈ $\mathbb{Z}$, a ≡ a $mod$ n
$\Rightarrow$ La relación es reflexiva.

2. PD que la relación es simétrica, es decir,  si  a ≡ b $mod$ n $\Rightarrow$ b ≡ a $mod$ n.
Sea a,b ∈ $\mathbb{Z}$ tal que a ≡ b $mod$ n $\Rightarrow$ n$\mid$ a-b
$\Rightarrow$ n$\mid$(-1)(a-b) , $\Rightarrow$ b ≡ a $mod$ n.
$\Rightarrow$ La relación es simétrica.

3. PD que la relación es transitiva, es decir, si a ≡ b $mod$ n y b ≡ c$mod$ n, $\Rightarrow$ a ≡ c$mod$ n.
Sean a,b,c  ∈ $\mathbb{Z}$ tal que a ≡ b $mod$ n y b ≡ c$mod$ n,
$\Rightarrow$ n$\mid$a-b y n$\mid$b-c  (por def. de la relación)
$\Rightarrow$ n$\mid$(a-b) + (b+c) $\Rightarrow$ n$\mid$a-c

Por definición de la relación,  $\Rightarrow$ a ≡ c$mod$ n.
$\Rightarrow$ La relación es transitiva.

$\therefore$ La relación de congruencia mód n es relación de equivalencia.